ฐานความช่วยเหลือด้านกลยุทธการแก้ปัญหา เรื่องเลขยกกำลัง

ฐานความช่วยเหลือด้านความคิดรอบยอด เรื่องเลขยกกำลัง

ฐานความช่วยเหลือด้านความคิดรวบยอด เรื่องพื้นที่

ฐานความช่วยเหลือด้านกลยุทธการแก้ปัญหา เรื่องพื้นที่

 

ธนาคารความรู้เรื่อง เลขยกกำลัง

เลขยกกำลัง

คือ จำนวนใด ๆ ที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูป a n ได้

โดยเรียก a ว่า  ฐาน  และเรียก n ว่า  เลขชี้กำลัง

บทนิยาม ถ้า a เป็นจำนวนใด ๆ และ n เป็นจำนวนเต็มบวก แล้ว

a n = a x a x a x … x a

โดยมี a คูณกันอยู่ จำนวน n ตัว เรียก a n ว่า เลขยกกำลัง

ตัวอย่าง

สัญลักษณ์ 54   อ่านว่า  ห้ายกกำลังสี่  หรือ  ห้ากำลังสี่    หรือ  กำลังสี่ของห้า

54   แทน 5×5×5×5

54   มี  5  เป็นฐาน และมี 4 เป็นเลขชี้กำลัง

ตัวอย่างที่ 1   จงหาว่า 53 แทนจำนวนใด

วิธีทำ 53 =   5×5×5

               =   125

ตอบ   125

ตัวอย่างที่ 2   จงหาว่า (-2)6 แทนจำนวนใด

วิธีทำ                 (-2)6 =  (-2)× (-2)× (-2)× (-2)× (-2)× (-2)

                                    =   64

ตอบ  64

ตัวอย่างที่ 3   จงหาว่า (-3)5 แทนจำนวนใด

วิธีทำ                 (-3)5     =  (-3)×(-3)× (-3)× (-3)× (-3)

                                         =  -243

ตอบ  -243

เมื่อต้องการเขียนจำนวนให้อยู่ในรูปเลขยกกำลัง  ทำได้โดยใช้การแยกตัวประกอบหรือเขียนจำนวนนั้นให้อยู่ในรูปการคูณของจำนวนที่ซ้ำๆกัน

ตัวอย่างที่ 4    จงเขียน 16 ในรูปเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังมากกว่า 1

วิธีทำ 16 =  2×2×2×2

               =  24

ตอบ 24

หรือ 16 = 4×4

             = 42

ตอบ 42

นอกจากสองคำตอบข้างต้นนี้แล้ว  เราอาจเขียน 16  ในรูปเลขยกกำลังที่มีฐานเป็นจำนวนลบได้อีกสองคำตอบ ได้แก่  (-2)4  และ (-4)2

การดำเนินการของเลขยกกำลัง

การคูณเลขยกกำลังเมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก

การคูณเลขยกกำลังที่มีฐานเป็นจำนวนเดียวกันและมีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวกเป็นไปตาม  สมบัติการคูณของเลขยกกำลัง  ดังนี้

เมื่อ  a   แทนจำนวนใดๆ  m และ n  แทนจำนวนเต็มบวก

am × an =   a m+ n

ในกรณีที่เลขยกกำลังที่นำมาคูณกันมีฐานต่างกัน  เราไม่สามารถเขียนผลคูณโดยใช้เลขชี้กำลังบวกกันได้  ดังตัวอย่างต่อไปนี้

23×34 =  (2×2×2) × (3×3×3×3)

               =  8×81

               =  648

(-3)2×(2)4=  {(-3)×(-3)}× (2×2×2×2)

                      =  9×16

                      =  144

ตัวอย่างที่ 5 จงเขียนผลคูณ 53× 54   ในรูปเลขยกกำลัง

วิธีทำ 53× 54=   53 + 4

                       =  57

ตอบ 57

การหารเลขยกกำลังเมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก

           การหารเลขยกกำลังที่มีฐานเป็นจำนวนเดียวกันและฐานไม่เท่ากับศูนย์  มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก  ในรูปของ am ÷ an   จะพิจารณาเป็น 3 กรณี คือ เมื่อ m > n , m = n  และ m < n ดังนี้

กรณีที่ 1   am ÷ an   เมื่อ a  แทนจำนวนใดๆที่ไม่ใช่ศูนย์ m, n  แทนจำนวนเต็มบวกและ m > n

สมบัติของการหารเลขยกกำลัง

เมื่อ a แทนจำนวนใดๆที่ไม่ใช่ศูนย์ m, n  แทนจำนวนเต็มบวกและ m > n

am ÷ an     =   am – n

กรณีที่ 2   am ÷ an   เมื่อ a  แทนจำนวนใดๆที่ไม่ใช่ศูนย์ m, n  แทนจำนวนเต็มบวกและ m = n 

ในกรณีทั่วๆไปมีบทนิยามของ a0 ดังนี้

 บทนิยาม   เมื่อ a   แทนจำนวนใดๆที่ไม่ใช่ศูนย์

a0 = 1

เมื่อมีข้อตกลงดังกล่าวจึงทำให้สมบัติของการหารเลขยกกำลัง

am ÷ an     =   am – n , a ≠ 0   เป็นจริง  ในกรณี  m = n  ด้วย

กรณีที่ 3   am ÷ an   เมื่อ a  แทนจำนวนใดๆที่ไม่ใช่ศูนย์ m, n  แทนจำนวนเต็มบวกและ m < n

ในกรณีทั่วๆไปมีบทนิยามของ a-n ดังนี้

บทนิยาม   เมื่อ a   แทนจำนวนใดๆที่ไม่ใช่ศูนย์และ n  แทนจำนวนเต็มบวก

                             

สรุปได้ว่าการหารเลขยกกำลังที่มีฐานเดียวกันและฐานไม่เป็นศูนย์  มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวกที่กล่าวมาทั้งสามกรณีเป็นไปตามสมบัติของเลขยกกำลังดังนี้

เมื่อ  a  แทนจำนวนใดๆ a ≠ 0   m และ n แทนจำนวนเต็มบวก

am ÷ an     =   am – n

สถานการณ์ปัญหา

โรงเรียนสันติสุข  ได้เข้าร่วมโครงการโรงเรียนวิถีพุทธ  โดยทางโรงเรียนได้จัดกิจกรรมให้นักเรียนได้มีส่วนร่วมในกิจกรรมทำความดี  ซึ่งการทำความดีนี้ทุกๆวันจะมีแสตมป์ความดีให้นักเรียนได้เก็บสะสมเพื่อนำมาแลกของรางวัลในทุกๆเย็นวันศุกร์  ซึ่งโครงการนี้มีนักเรียนเข้าร่วมทั้งหมด 15 คน และเมื่อครบทั้ง 5 วัน นักเรียนทุกคนจะต้องนำแสตมป์ที่สะสมได้ของแต่ละคนมารวมกันให้ครบทุกคน เด็กหญิงงามตาและเพื่อนๆได้เข้าร่วมกิจกรรมโดยได้เก็บสะสมแสตมป์ดังนี้

วันจันทร์ สะสมแสตมป์ได้  2 ดวง

วันอังคาร สะสมแสตมป์เป็น 2 เท่าของวันจันทร์

วันพุธ สะสมแสตมป์เป็น 2 เท่าของวันอังคาร  

วันพฤหัสบดี สะสมแสตมป์เป็น 2 เท่าของวันพุธ

วันศุกร์ สะสมแสตมป์เป็น 2 เท่าของวันพฤหัสบดี

อยากทราบว่าเด็กหญิงงามตาเก็บสะสมแสตมป์ภายใน 5 วันได้แสตมป์

กี่ดวง  และถ้านำแสตมป์ของทั้ง 15 คนมารวมกันจะได้แสตมป์กี่ดวง

 ภารกิจ

1.ภายในเวลา 10 วัน ให้นักเรียน 2 คน นำแสตมป์ที่สะสมได้มารวมกันจะได้แสตมป์กี่ดวงแสดงวิธีการคำนวณอย่างละเอียด

2.ภายในเวลา 10 วัน ถ้านักเรียนทั้งหมด 15 คน นำแสตมป์ที่สะสมได้มารวมกันจะได้แสตมป์กี่ดวงแสดงวิธีการคำนวณอย่างละเอียด

3.วิเคราะห์หาวิธีการคำนวณจำนวนแสตมป์ที่เด็กหญิงงามตาสะสมได้ภายในเวลา 5 วันพร้อมแสดงวิธีการคำนวณอย่างละเอียด

ธนาคารความรู้เรื่อง พื้นที่

พื้นที่ คือปริมาณของพื้นผิว พื้นผิวใดที่มีขอบเขตแน่นอนสามารถหาพื้นที่ได้หน่วยของการวัดพื้นที่คือตารางหน่วย

พื้นที่ 1 ตารางหน่วย

                                      1 หน่วย   

                                                        1หน่วย

รูปนี้เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีความยาวด้านละ 1 หน่วย

ดังนั้นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้มีพื้นที่ 1 ตารางหน่วย

ความสัมพันธ์ระหว่างหน่วยวัดความยาว

หน่วยวัดความยาวในระบบเมตริกมีความสัมพันธ์กันดังนี้

10 มิลลิเมตร เท่ากับ 1 เซนติเมตร

100 เซนติเมตร     เท่ากับ   1 เมตร

การหาพื้นที่เป็นตารางหน่วย

                                                      

 จากรูปที่กำหนดให้นี้ เมื่อนำกระดาษรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 1 ตารางหน่วยจำนวน 6 รูปมาปูบนรูปนี้ได้เต็มพอดี

ดังนั้น รูปนี้มีพื้นที่ 6 ตารางหน่วย

              

 หรือจากรูปที่กำหนดให้นี้ เมื่อแบ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 1 ตารางหน่วย จะได้ 6 รูปพอดี

ดังนั้น รูปนี้มีพื้นที่ 6 ตารางหน่วย

พื้นที่ 1 ตารางเซนติเมตร

                               1ซม.   

                                              1 ซม.

 รูปนี้เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 1 เซนติเมตร

ดังนั้น รูปนี้มีพื้นที่ 1 ตารางเซนติเมตร

 การหาพื้นที่เป็นตารางเซนติเมตร

 

    รูปนี้เมื่อนำรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 1 ตารางเซนติเมตร มาปูจะได้ 5 รูปเต็มพอดี

ดังนั้น รูปนี้มีพื้นที่ 5 ตารางเซนติเมตร

การหาพื้นที่โดยประมาณ

              รูปบางรูปมีบางส่วนไม่เต็มหน่วย เราจึงต้องหาพื้นที่โดยประมาณ

              การหาพื้นที่โดยประมาณทำได้โดยนำพื้นที่ไม่เต็มหน่วยมารวมกับพื้นที่เต็มหน่วย

              การประมาณพื้นที่ของส่วนที่ไม่เต็มหน่วยมีหลักการดังนี้

1.พื้นที่เกินครึ่งตารางหน่วยนับเป็น 1 ตารางหน่วย

2.พื้นที่ไม่ถึงครึ่งตารางหน่วยไม่นับเป็น 1 ตารางหน่วย

แต่ให้นับเป็น 0 ตารางหน่วย

 พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก

                                      3 ซม.                                                                                                                                                                                                                                                   

                                    5 ซม.

รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากรูปนี้กว้าง 3 เซนติเมตร ยาว 5 เซนติเมตร

เมื่อตีตารางขนาด 1 ตารางเซนติเมตร จะได้ 3 แถว แถวละ 5 ตารางเซนติเมตร

มีพื้นที่ 5+5+5 หรือ 3×5 เท่ากับ 15 ตารางเซนติเมตร

ดังนั้น พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก = ความกว้าง × ความยาว